אינטגרל בלתי מוגדר. חישוב אינטגרלים בלתי מוגדרים

אחד החלקים הבסיסיים של המתמטיקהניתוח הוא חשבון אינטגרלי. הוא מכסה את השדה הרחב ביותר של אובייקטים, כאשר הראשון הוא אינטגרל בלתי מוגדר. כדי למקם את זה עומד כמפתח, כי אפילו בתיכון זה מגלה מספר גדל והולך של נקודות מבט והזדמנויות המתמטיקה גבוהה מתאר.

מראה

במבט ראשון, האינטגרל נראה בלתי אפשרימודרני, רלוונטי, אבל בפועל מתברר כי הוא הופיע בשנת 1800 לפנה"ס. מולדת נחשבה רשמית למצרים, שכן לא קיבלנו עדויות מוקדמות לקיומה. הוא, בשל חוסר מידע, כל הזמן הזה ממוקם בדיוק כמו תופעה. הוא אישר שוב את רמת הפיתוח של המדע בקרב העמים של אותם זמנים. לבסוף, עבודות של מתמטיקאים יוונית עתיקה שראשיתה המאה ה -4 לפנה"ס נמצאו. הם תיארו שיטה שבה יושם אינטגרל בלתי מוגדר, שעיקרו היה למצוא את הנפח או השטח של דמות מפותלת (תלת מימדית ומישורים דו-ממדיים, בהתאמה). עקרון החישוב התבסס על חלוקת הדמות הראשית למרכיבים אינפיניטסימלים, בתנאי שהנפח (שטח) שלהם כבר ידוע. עם הזמן, השיטה גדלה, ארכימדס השתמשו בו כדי למצוא את האזור של פרבולה. חישובים אנלוגיים באותו זמן נערכו על ידי מדענים בסין העתיקה, יתר על כן, הם היו עצמאיים לחלוטין של האחים היוונים במדע.

פיתוח

פריצת הדרך הבאה במאה ה -11 היא כבר עידן העידן שלנוהעבודה של "עגלה" המלומד הערבי אבו עליי אל-בצרי, אשר דחפה את הגבולות ידועים כבר, נגזרה הנוסחא הנפרדת לחישוב הסכומים בסכומים המעלים מן הראשונה עד הרביעית, באמצעות בשביל זה אנחנו יודעים את שיטת אינדוקציה מתמטית.

מוחות המודרניות מעריצים את הדרך העתיקההמצרים יצרו אנדרטאות מדהימות של ארכיטקטורה, ללא כל מכשירים מיוחדים, מלבד אולי את ידיהם, אך לא כוחם של מדעני אותה תקופה לא פחות נס? בהשוואה לזמן הנוכחי, חייהם נראים כמעט פרימיטיביים, אך הפתרון של אינטגרלים בלתי מוגדרים נגזר בכל מקום והשתמש בו הלכה למעשה להתפתחות נוספת.

השלב הבא התרחש במאה XVI, כאשרהמתמטיקאי האיטלקי קבליירי הסיק את שיטת הבלתי ניתן לחלוקה, שנלקחה על ידי פייר פרמה. שני האנשים האלה הם שהניחו את היסודות לחישוב האינטגרלי המודרני הידוע כרגע. הם קשרו את המושגים של בידול ואינטגרציה, שבעבר נתפסו כיחידות אוטונומיות. על פי רוב, המתמטיקה של אותם זמנים היתה מקוטעת, החלקיקים של המסקנות היו קיימים בעצמם, בעלי תחום יישום מוגבל. נתיב האיחוד וחיפוש אחר הקרקע המשותפת היה הנכון רק באותו זמן, הודות לו ניתוח מתמטי מודרני היה מסוגל לגדול ולהתפתח.

עם הזמן, הכל השתנה, ואת ייעודוכולל אינטגרלי בדרך כלל, זה היה מסומן על ידי מדענים, למשל, ניוטון השתמש סמל מרובע שבו הוא הניח פונקציה אינטגראבל או פשוט להציב אותו ליד זה.

מחלוקת זו נמשכה עד המאה ה- XVII,כאשר המדען האיקוני גוטפריד לייבניץ הציג את הסמל כה מוכר לנו עבור כל התיאוריה של ניתוח מתמטי. ה- "S" המתוח באמת מבוסס על המכתב הזה של האלפבית הלטיני, שכן הוא מציין את סכום האנטיפודים. השם ניתן לתודה האינטגרלית ליעקב ברנולי לאחר 15 שנים.

הגדרה פורמלית

האינטגרל הבלתי מוגדר תלוי ישירות בהגדרת האנטי-הרביטיב, אז שקול אותו תחילה.

הפרימיטיבי הוא פונקציה הפוכהנגזר, בפועל הוא נקרא גם פרימיטיבי. אחרת: הפרימיטיבי של הפונקציה d הוא פונקציה D אשר הנגזרת שלה היא v <=> V = = החיפוש אחר האנטי-רדיקטיבי הוא חישוב אינטגרל בלתי מוגדר, והתהליך עצמו נקרא אינטגרציה.

דוגמה:

הפונקציה s (y) = y³, ואת S שלה antiderivative (y) = (y⁴/ 4).

המערכת של כל התכשירים האנטי-רביטיביים של הפונקציה הנדונה היא אינטגרל בלתי מוגדר, והיא מסומנת כדלקמן: ∫v (x) dx.

כי V (x) הוא רק חלקהפרימיטיבי של הפונקציה הראשונית, יש לנו את הביטוי: ∫v (x) dx = V (x) + C, כאשר C הוא קבוע. קבוע שרירותי מובן כקבוע, שכן הנגזרת שלו היא אפס.

מאפיינים

הנכסים שאינם מוחזקים על ידי אינטגרלים בלתי תלויים מבוססים על ההגדרה הבסיסית והנכסים של הנגזרים.

שקול את נקודות המפתח:

• האינטגרל של הנגזרת של פרימיטיבי הוא עצמו antiderivative בתוספת קבוע שרירותי C <=> ∫V "(x) dx = V (x) + C;
• הנגזרת של הפונקציה האינטגרלית היא הפונקציה הראשונית <=> (∫v (x) dx) "= v (x);
• הקבוע נלקח מתוך הסימן של אינטגראל <=> ∫kv (x) dx = k∫v (x) dx, כאשר k הוא שרירותי;
• האינטגרל, שנלקח מהסכום, שווה באופן שווה לסכום האינטגרלים. (Y (y) w (y)) dy = ∫v (y) dy + ∫w (y) dy.

משני המאפיינים האחרונים ניתן להסיק כי אינטגרל בלתי מוגדר הוא ליניארי. בגלל זה, יש לנו: ∫ (kv (y) dy + ∫ lw (y)) dy = k∫v (y) dy + l∫w (y) dy.

עבור קיבעון, אנו רואים דוגמאות לפתרונות של אינטגרלים בלתי מוגדרים.

זה הכרחי כדי למצוא את אינטגרל (3sinx + 4cosx) dx:

• ∫ (3sinx + 4cosx) DX = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + ג

מן הדוגמה, אנו יכולים להסיק: לא יודע איך לפתור את אינטגרלים בלתי מוגבל? רק למצוא את כל antitpical! והנה את העקרונות של החיפוש להלן.

שיטות ודוגמאות

על מנת לפתור את האינטגרל, אנו יכולים לנקוט בשיטות הבאות:

• להשתמש בטבלה סיים;
• לשלב על ידי חלקים;
• להשתלב על ידי שינוי משתנה;
• subduction תחת סימן של ההפרש.

טבלאות

הדרך הקלה והמהנה ביותר. כרגע, ניתוח מתמטי יכול להתפאר שולחן נרחב למדי, שבו נוסחאות בסיסיות של אינטגרלים לא מוגדר נקבעו. במילים אחרות, יש תבניות הנגזרות לפניך ועבורך, נותר רק להשתמש בהן. הנה רשימה של עמדות הטבלה העיקריות אשר כמעט כל דוגמה שיש פתרון ניתן לגזור:

• ∫0dy = C, כאשר C הוא קבוע;
• ∫dy = y + C, כאשר C הוא קבוע;
• ∫yⁿdy = (y^{n + 1}) / (n + 1) + C, כאשר C הוא קבוע, ו- n הוא מספר nonzzo;
• ∫ (1 / y) dy = ln | y + C, כאשר C הוא קבוע;
• ∫^ydy = e^y + C, כאשר C הוא קבוע;
• ∫k^ydy = (k^y/ ln k) + C, כאשר C הוא קבוע;
• ∫ cosydy = siny + C, כאשר C הוא קבוע;
• ∫sinydy = cosy + C, כאשר C הוא קבוע;
• ∫dy / cos²y = tgy + C, כאשר C הוא קבוע;
• ∫dy / חטא²y = -ctgy + C, כאשר C הוא קבוע;
• ∫dy / (1 + y²) = arctgy + C, כאשר C הוא קבוע;
• ∫chydy = ביישן + C, כאשר C הוא קבוע;
• ∫shydy = chy + C, כאשר C הוא קבוע.

במידת הצורך, לעשות כמה צעדים להוביל מִסתַכֶּמֶת לתצוגה טבלאית וליהנות ניצחון. דוגמה: ∫cos (5x -2) DX = 1 / 5∫cos (5x - 2) ד (5x - 2) = 1/5 x sin (5x - 2) + ג

בהחלטה ברור כי לדוגמא של הטבלה אין ל- integrand מכפיל של 5. אנו מוסיפים אותו, הכפלה של 1/5 במקביל, כך שהביטוי הכללי אינו משתנה.

אינטגרציה לפי חלקים

שקול שתי פונקציות - z (y) ו- x (y). הם חייבים להיות שונים באופן רציף על כל תחום ההגדרה. על ידי אחד המאפיינים בידול לנו: d (xz) = xdz + zdx. שילוב שני צידי המשוואה, אנו מקבלים: ∫d (xz) = ∫ (xdz + zdx) => zx = ∫zdx + ∫xdz.

שכתוב המשוואה המתקבלת, אנו מקבלים נוסחה המתארת ​​את שיטת האינטגרציה על ידי חלקים: ∫zdx = zx - ∫xdz.

למה זה נחוץ? העובדה היא כי כמה דוגמאות יש את ההזדמנות כדי לפשט, באופן יחסי, להפחית ∫zdx כדי ∫xdz, אם האחרון הוא קרוב טופס טבלאי. כמו כן, נוסחה זו ניתן להחיל יותר מפעם אחת, השגת התוצאה האופטימלית.

כיצד לפתור אינטגרלים בלתי מוגדרים בדרך זו:

• יש צורך לחשב ∫ (s + 1) ה^2sד

∫ (x + 1) ה^2sds = {z = s + 1, dz = ds, y = 1 / 2e^2s, dy = e^2xds} = ((s + 1) ה^2s) / 2-1 / 2^2sdx = ((s + 1) e^2s) / 2-e^2s/ 4 + C;

• אתה צריך לחשב ∫lnsds

∫lnsds = {z = LNS, dz = ds / s, s = y, dy = ds} = slns - ∫s x DS / s = slns - s = + C -s slns = ∫ds (LNS-1) + ג

החלפת משתנה

עיקרון זה של פתרון אינטגרלים בלתי מוגדרים הוא לאפחות דרוש מאשר הקודם שני, אם כי קשה יותר. השיטה כוללת את הדברים הבאים: תן V (x) להיות חלק אינטגרלי של פונקציה כלשהי (x). אם האינטגרל עצמו בדוגמה הוא מורכב, יש סיכוי גדול להתבלבל וללכת בדרך הלא נכונה. כדי למנוע זאת, המעבר מהמשתנה x ל z הוא תרגול, שבו הביטוי הכללי הוא מפושט ויזואלי כאשר התלות של z על x נשמר.

בשפה מתמטית, זה נראה כך: ∫v (x) dx = ∫v (y (z)) y (z) dz = V (z) = V (y^-1(x)), כאשר x = y (z) הוא תמורה. וכמובן, הפונקציה ההופכית z = y^-1(x) מתאר באופן מלא את התלותקשר בין משתנים. תצפית חשובה היא כי DX דיפרנציאלי מוחלף בהכרח על ידי dz דיפרנציאלי חדש, שכן החלפת משתנה אינטגרל בלתי מוגדר מרמז על החלפת אותו בכל מקום, ולא רק integrand.

דוגמה:

• יש צורך למצוא ∫ (s + 1) / (s² + 2 - 5) ds

אנו מיישמים את החלופה z = (s + 1) / (s²+ 2s-5). אז dz = 2sds = 2 + 2 (s + 1) ds <=> (s + 1) ds = dz / 2. כתוצאה מכך, אנו מקבלים את הביטוי הבא, אשר קל מאוד לחשב:

∫ (s + 1) / (s²+ 2s-5) ds = ∫ (dz / 2) / z = 1 / 2ln | z | + C = 1 / 2ln | s²+ 2s-5 | + C;

• יש צורך למצוא את אינטגרל ∫2^sה^sdx

עבור הפתרון, אנו לשכתב את הביטוי בצורה הבאה:

∫2^sה^sds = ∫ (2e)^sד.

אנו מציינים על ידי = 2e (על ידי החלפת הטיעון שלב זה הוא לא, זה עדיין s), אנחנו נותנים, במבט ראשון, אינטגרל מורכב, אל הטופס הטבלאי היסודי:

∫ (2e)^sds = ∫^sds = a^s / lna + C = (2e)^s / ln (2e) + C = 2^sה^s / ln (2 + lne) + C = 2^sה^s / (ln2 + 1) + C.

ציור תחת השלט של ההפרש

בדרך כלל, שיטה זו של אינטגרלים בלתי מוגדר הוא אחיו התאום של עקרון החלפת משתנה, אבל יש הבדלים בתהליך העיצוב. הבה נבחן יותר בפירוט.

אם ∫v (x) dx = V (x) + c ו- y = z (x), ולאחר מכן ∫v (y) dy = V (y) + C.

עם זאת, אין לשכוח טרנספורמציה אינטגרלית טריוויאלית, וביניהן:

• dx = d (x + a), כאשר a הוא קבוע;
• dx = (1 / a) d (ax + b), כאשר a הוא שוב קבוע, אבל לא שווה לאפס;
• xdx = 1 / 2d (x² + b);
• sinxdx = -d (cosx);
• cosxdx = d (sinx).

אם ניקח בחשבון את המקרה הכללי כאשר אנו מחשבים אינטגרל בלתי מוגדר, הדוגמאות ניתן לצמצם את הנוסחה הכללית w "(x) dx = dw (x).

דוגמאות:

• יש צורך למצוא ∫ (2 + 3)²ds, ds = 1 / 2d (2 + 3)

∫ (2 + 3)²ds = 1 / 2∫ (2 + 3)²d (2 + 3) = (1/2) x (2 + 3)²) / 3 + C = (1/6) x (2 + 3)² Map C;

∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (coss) / coss = -ln | coss | Map C.

עזרה מקוונת

במקרים מסוימים, האשמה של אשר עשוי להיותאו עצלות, או צורך דחוף, אתה יכול להשתמש עצות מקוונות, או ליתר דיוק, להשתמש במחשבון של אינטגרלים לא ברור. למרות כל המורכבות והמחלוקת לכאורה של אינטגרלים, הפתרון שלהם כפוף לאלגוריתם מסוים, שנבנה על עיקרון "אם לא ..., אז ...".

כמובן, דוגמאות מורכבות במיוחד של כאלההמחשבון אינו שולט, שכן ישנם מקרים שבהם הפתרון צריך להימצא באופן מלאכותי, "בכוח" החדרת אלמנטים מסוימים בתהליך, כי דרכים ברורות של התוצאה לא ניתן להשיג. למרות כל המחלוקת של אמירה זו, זה נכון, שכן המתמטיקה, באופן עקרוני, היא מדע מופשט, ורואה במשימתו העיקרית להרחיב את גבולות האפשרויות. אכן, קשה מאוד להתקדם ולהתפתח עם תיאוריות חלקות, ולכן אין להניח שדוגמאות לפתרון האינטגרלים הבלתי מוגדרים שנתנו הם בראש האפשרויות. עם זאת, הבה נחזור לצד הטכני של העניין. לפחות כדי לבדוק את החישובים אתה יכול להשתמש בשירותים שבהם הכל נכתב לפנינו. אם יש צורך בחישוב אוטומטי של ביטוי מורכב, אז הם לא יכולים לעשות, יצטרכו לנקוט תוכנות רציניות יותר. כדאי לשים לב קודם כל לסביבה MatLab.

יישום

הפתרון של אינטגרלים בלתי מוגדרים הראשוןנראה שהנוף מנותק לחלוטין מהמציאות, שכן קשה לראות את המטוסים הברורים של היישום. ואכן, הם לא יכולים לשמש באופן ישיר בכל מקום, אבל הם נחשבים אלמנט ביניים חיוני בתהליך של מציאת פתרונות המשמשים בפועל. לפיכך, האינטגרציה נבדלת בהיפוך, ובשל כך היא משתתפת באופן פעיל בתהליך של פתרון משוואות.

בתורו, משוואות אלה ישהשפעה ישירה על הפתרון של בעיות מכניות, חישוב מסלולים מוליכות תרמית - בקיצור, כל מה שעושה את ההווה ומעצב את העתיד. האינטגרל הבלתי מוגדר, הדוגמאות שלדעתנו לעיל, הוא טריוויאלי רק במבט ראשון, שכן הוא הבסיס ליצירת תגליות חדשות יותר ויותר.